《圆的方程》的课堂教案设计

1、教学目标

（1）知识目标：

a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

（2）能力目标：

a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

c、增强学生用数学的意识。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点

（1）教学重点： 圆的标准方程的求法及其应用。

（2）教学难点：

①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导]：画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）

将x=2.7代入，得

即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）

问题二：

1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

答：x2+y2=r2

2、如果圆心在，半径为时又如何呢？

[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法

如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①

把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

（三）应用举例（巩固提高）

I直接应用（内化新知）

问题三：

1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在，半径为

（3）经过点，圆心在点

2、根据圆的方程写出圆心和半径

II灵活应用（提升能力）

问题四：

1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

[教师引导] 由问题三知：圆心与半径可以确定圆。

2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程。

[教师引导] 应用待定系数法寻找圆心和半径。

3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程。

[学生活动] 探究方法

[教师预设]

多媒体课件演示：

方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）

方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）

方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）

方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）

4、你能归纳出具有一般性的结论吗？

已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

III实际应用（回归自然）

问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0。01m）。

[多媒体课件演示创设实际问题情境]

（四）反馈训练（形成方法）

问题六：1、求以C（—1，—5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。

2、已知点A（—4，—5），B（6，—1），求以AB为直径的圆的方程。

3、求过点且圆心在直线上的圆的标准方程。

4、求圆x2+y2=13过点P（—2，3）的切线方程。

5、已知圆的方程为，求过点的切线方程。

（五）小结反思（拓展引申）

1、课堂小结：

（1）知识性小结：

①圆心为C（a，b），半径为r 的圆的标准方程为：

当圆心在原点时，圆的标准方程为：

②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

（2）方法性小结：

①求圆的方程的方法：

I找出圆心和半径；

II待定系数法

②求解应用问题的一般方法

2、分层作业：

（A）巩固型作业：课本P81—82：（习题7.6）1、2、4

（B）思维拓展型作业：

试推导过圆上一点的切线方程。

3、激发新疑：

问题七：

1、把圆的标准方程展开后是什么形式？

2、方程：的曲线是什么图形？

设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线。初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点就放在了用解析法研究它的方程和圆的.标准方程的一些应用上。首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由潜入深的解决问题，并通过最终在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、我的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时提锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。